Пример №1 (Инженерно-конструкторская постановка и метод решения задачи)

Для двух опорной балки с правой консолью, загруженной погонной нагрузкой q с постоянной интенсивностью 10 кН/м и сосредоточенной силой  P = 10 кН, выбрать двутавровое поперечное сечение. Допустимые напряжение изгиба [σ] = 100 МПа. Предел текучести материала балки σ_т = 240 МПа. Коэффициент запаса прочности по пределу текучести n_т = 2. После выбора номера двутавра, провести проверку балки на жёсткость. 

Рис.1. Схема нагружения балки.

(Решение)

1. Определяем реакции опор: R_A, R_B, 

Для этого, вместо опор прикладываем сосредоточенные силы  R_A, R_B,

заменяем погонную нагрузку q на сосредоточенные эквивалентные силы по силовым участкам балки. Первый участок АВ, эквивалентная сила ql приложена в середине пролёта балки между опорами. Второй участок – консоль ВС, эквивалентная сила qc приложена в среднем сечении консоли. 

Рис.2. Эквивалентная схема нагружения балки.

Составляем уравнения моментов всех сил относительно «опорных»

точек А и В:

∑ M_Aⁱ = - ql∙l/2 + R_B∙l - qc∙(l + c/2) - P∙(l + c) = 0, откуда

реакция опоры B вычисляется по формуле:

R_B = [ql∙l/2 + qc∙(l + c/2) + P∙(l + c)]/l =

= [10∙4 ∙ 4/2 + 10∙2∙ (4+2/2) + 10∙ (4+2)]/4 = 60 кН. 

∑ M_Bⁱ = ql∙l/2 - R_A∙l - qc∙ c/2 - P∙ c = 0, откуда

реакция опоры A вычисляется по формуле:

R_A = [ql∙l/2 - qc∙ c/2) - P∙c)]/l = [10∙4∙4/2 - 10∙2∙ 2/2) - 10∙2)]/4= 10кН

Проверка правильности вычисления реакций опор заключается в проверке уравнения статического равновесия балки в проекциях сил на вертикальную координатную ось:

∑ F_zⁱ = R_A + R_B – ql – qc – P = 10 + 60 - 10∙4 - 10∙2 – 10 = 0

1. Определяем аналитические выражения изгибающих моментов по силовым участкам балки: M_AB(x), M_BC(x). 

Рис. 3. Схема метода сечений для определения внутренних силовых факторов.

Составим уравнение равновесия отсечённой  левой части балки в моментах относительно сечения с координатой x:

- R_A∙ x + q∙x∙x/2 + M(x) = 0 , откуда  M_AB(x) = M(x) = ­ q∙x²/2 + R_A∙ x

Уравнение в проекциях сил на вертикальную ось координат даёт аналитическое выражение для перерезывающей силы Q_AB(x):

R_A – qx – Q(x) = 0, откуда Q_AB(x) = Q(x) = R_A – qx

для 0 ≤ x ≤ 4.

Составим уравнение равновесия отсечённой  правой консольной части балки в моментах относительно сечения с координатой x:

- P∙ x - q∙x∙x/2 - M(x) = 0 , откуда  M_BC(x) = M(x) = ­ q∙x²/2 - P∙ x

Уравнение в проекциях сил на вертикальную ось координат даёт аналитическое выражение для перерезывающей силы Q_BC(x):

-P – qx + Q(x) = 0, откуда Q_BC(x) = Q(x) = P + qx

для 0 ≤ x ≤ 2.

На рис. 4 показаны эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов, которые представляют собой графики функций: Q_AB(x), Q_BC(x), M_AB(x), M_BC(x), на соответствующих силовых участках балки.

  

 

Рис.4. Эпюры перерезывающих сил Q(x) и

изгибающих моментов M(x).

 

1. Опасное сечение расположено над опорой В. Максимальный изгибающий момент  M^max = 40 кНм. Из условия прочности σ^max ≤ [σ], которое в раскрытом виде имеет следующее выражение:

M^maxWmin≤ σ,  определяем потребный момент сопротивления сечения балки.

^Wmin≥M^maxσ= 40∙103100∙106^=0.4∙10-3м3,  здесь допустимые напряжения приняты равными 100 МПа. Сечение выбираем в виде двутавра №30, имеющего следующие геометрические и физические характеристики:

Iy      18849,0 см^4

Iz       6240,9 см^4

Ikp    60,71 см^4

Площадь сечения         110,8 см^2 Рис.5. Двутавp колонный (К) по ГОСТ 26020-83

1. Проверка жёсткости балки.

Максимальный прогиб  балки не должен превышать lmax1000  = 4000/1000 =4мм,

где l^max = 4м – максимальная длина пролёта балки между опорами А и В.

Определение максимальных прогибов балки проводится в программной среде SCAD Office на следующей конструктивной модели:

 

Рис.6. Конструктивная модель двух опорной балки с правой консолью.

Описание конструктивной модели:

Длина пролёта между опорами – 4м;

Опоры шарнирные;

Длина консоли  - 2м;

Балка нагружена по всей длине погонной нагрузкой q=10кН/м;

На краю консоли приложена сосредоточенная сила P= 10кН;

Поперечное сечение балки - Двутавp колонный (К) по ГОСТ 26020-83 (рис.5)

Максимальный прогиб в среднем сечении между опорами – 0.17мм направлен вверх;

Максимальный прогиб на краю консоли – 2.53мм направлен вниз.

 

Рис.7. Прогибы балки в (мм)

 

Выводы:

Проведённые  проектные расчёты двухопорной балки на прочность и жёсткость дают конструктору уверенность для принятия конструктивной схемы в соответствии с  конструктивной моделью двух опорной балки с правой консолью.

При этом для реальной конструкции коэффициент запаса прочности по пределу текучести σ_т = 250МПа, прогнозируется не ниже n_т = 2 . Максимальный прогиб на краю консоли – 2.5мм.